Table des médiétés & Conclusions

La méthode des cribles laisse survivre 12 médiétés, comprenant les 10 médiétés recensées dans la liste de Nicomaque de Gérase, la 11ème médiété recensée notamment dans diverses thèses de mathématique (Théon 12), et enfin une 12e médiété (Théon 11), produisant un compte conforme à la conjecture de Théon de Smyrne.

La médiété Théon 12 ne présente pas de différence significative avec les 10 premières. Cette médiété se note :

(c - b) = b

(c - a)     c

Il convient à présent d'examiner le statut, bien particulier quant à lui, de la médiété Théon 11. Commençons par l'examiner.

(b - a) = b

(c - a)     c

Cette médiété possède une solution si et seulement si a = 0, et elle alors vraie dans tous les cas, quelles que puissent être les valeurs de b et c ; mais elle s’avère fausse pour toute autre valeur de a.

On a vu qu'un  moyen souvent efficace d'extraire le contenu sémantique d'une médiété (comme Nicomaque 2), était de la transformer en un axiome d'existence. On peut donc comprendre cette médiété comme l’affirmation qu’il existe un nombre a tel que (b - a) = b. Autrement dit, il existe un ensemble vide.

Cette soit disant "médiété" n'a pas d’autre signification. En tant que médiété entre trois termes, elle n'énonce rien de plus que l'idée que si a = 0, alors tout nombre b inférieur à c est une "médiété" entre a (zéro) et c ; - le sens du mot médiété se trouvant alors réduit à sa signification la plus vide : que b se situe "n'importe où" entre a et c. La notion de moyenne se trouve diluée dans la généralité la plus abstraite, puisqu'elle se trouve occuper toute la zone comprise entre a (zéro) et c.

Cette médiété est donc particulière par son absence d'intérêt mathématique, autant que par son excessive généralité, qui la dénonce comme une forme "saturée", voire "dégénérée" de la notion de médiété. Mais nous avons vu que le système admettait des gradations de ce genre, en ce sens que la médiété Nicomaque 1 pouvait déjà nous apparaître, par rapport aux autres, comme « à demi-saturée », ou comportant une signification par trop générale (puisque notamment identique aux notions de nombre entier ou d'intervalle régulier). Nous voyons donc qu'il ne s'agit, dans cette médiété Théon 11, que d'un degré supérieur, et du reste ultime, de saturation ou de dégénérescence.

Car ces remarques négatives ne doivent pas masquer l'essentiel :

Les 717 formules ayant été éliminées par la méthode des cribles l'ont été sur la base de défauts sémantiques irrévocables : faux, impossible, doublon d'un autre, etc, défauts dont chacun est une réfutation définitive de sa validité ou de sa signification.

Rien de si négatif ne caractérise la médiété Théon 11.

En effet, ce qu'énonce la médiété Théon 11 est d’une absolue véracité mathématique, à savoir que :

" (S'il existe un ensemble vide)

Il existe un nombre a tel que (b - a ) =  b

Et par conséquent tel aussi que :

( b - a )  =  b

( c - a )       c

D’autre part, cette médiété ne contrevient à aucun des axiomes du système que nous avons énoncés jusqu'ici.

En effet, ces axiomes n'exigent pas que les éléments de la majeure soient supérieurs à zéro, mais seulement que les différences entre ces éléments le soient. C'est bien le cas dans notre formule, les différences  (b - a) et (c - a) sont toutes deux supérieures à zéro.

D'autre part, notre axiome exige également que, dans la mineure, aucun élément ne soit égal à zéro. C'est encore bien le cas de notre formule, puisque le nombre a (égal à zéro) ne figure pas dans la mineure.

Autrement dit, la médiété Théon 11 satisfait bien la forme :

x = a

y    b            où x, y, a et b sont des nombres positifs supérieurs à zéro.

La médiété Théon 11 est donc libérée de l'escarcelle des cribles logiques au même rang que les onze autres, et ne contrevient à aucun des axiomes énoncés dans le système. C'est à dire que, pour l'éliminer, nous serions obligés d'introduire un axiome et un crible supplémentaire, auxquels contrevienne seule cette médiété ; par exemple : "la majeure non plus ne doit pas contenir d'élément égal à zéro". Un tel décret donnerait du coup l'impression d'être créé "sur mesure" pour éliminer la médiété Théon 11; et son adoption relèverait uniquement, dès lors, d'une situation de choix, dans la définition du système.

Or, il nous faut bien constater que le système lui-même ne nous invite pas à choisir en ce sens.

En effet, que constate-t-on à ce stade dans la structure générale du système?

Si l'on observe l'ensemble des médiétés 7 à 12, on s'aperçoit que la détermination de la médiété Théon 11 (comme celle de n'importe quelle autre médiété de cet ensemble) relève d'un simple exercice de logique amusante. Jugeons plutôt : 

( b - a )  =  ( a )                       ( c - b )  =  ( a )

( c - a )      ( c )                       ( c - a )      ( c )

( b - a )  =  ( a )                       ( c - b )  =  ( a )

( c - a )      ( b )                       ( c - a )      ( b )

( ..... )  =   (...)                        ( c - b )  =  ( b )

(.......)       (...)                        ( c - a )       ( c )

Je pense que chacun, en y mettant un peu de coeur, trouvera sans difficulté la médiété n° 11 sans autre étude que l'observation des 5 formules qui l'environnent. 

Qu'est-ce que cela signifie pour nous?

Cela signifie que, si la structure des médiétés 1 à 6 était une structure quelque peu capricieuse et asymétrique, dans le cas des médiétés 7 à 12, la structure se caractérise par une parfaite régularité logico-combinatoire. Cette structure se résout, en somme, à une complète relation logique biternaire, développée ici sous la forme topologique :

La conclusion de tout ceci sera donc que le déploiement logique complet du système des médiétés pythagoriciennes conduit à admettre, au titre de médiété n°11, un axiome d'existence du nombre zéro.