La structure logique du gnomon : 2

 

  

 LA STRUCTURE LOGIQUE DU GNOMON (2)

  Le système des connecteurs et le triangle gnomonique de rang 4

 

  

 

Dans le précédent article, on a vu que les carrés logiques bicolores étaient des noms logiques des connecteurs du système des tables de vérité; mais on a constaté aussi que le contenu sémantique, que les significations de ces connecteurs, se reflétaient dans la structure matérielle du carré logique.

Dans cet article, on examinera une application de rang supérieur qui est la suivante :

Les relations logiques entre les 16 connecteurs de la logique des tables de vérité, se reflètent dans la structure des polygones gnomoniques de rang 4, triangle et carré. 

Ce qui, dans le système des tables de vérité, s'exprime par des relations de négation ou de réciprocité logique entre des connecteurs considérés par paires, se reflète dans la structure des polygones gnomoniques de rang 4, exprimé cette fois sous la forme de relations de symétrie - "haut-bas" ou "gauche-droite" - entre deux parties de la figure.

Autrement dit : A toute relation de négation ou de réciprocité entre deux connecteurs de la logique des tables de vérité, correspond une relation de symétrie entre deux cases du polygone gnomonique de rang 4, triangle ou carré.

En logique, les différences et les symétries d'un système s'articulent en un noyau logique, qui détermine la constitution, - la structure même - de ce système.

Rappelons-nous le noyau logique de différences et de symétries qui caractérise le système des connecteurs binaires. 

5 connecteurs de sens binaire s'opposent à 5 autres qui sont leurs négatifs. 3 connecteurs de sens non binaire s'opposent à 3 autres qui sont leurs négatifs. Précisons que, pour ce qui nous concerne, le choix de baptiser "positif" le groupe supérieur correspondant aux connecteurs 1 à 8, relève d'une convention arbitraire; en effet, un connecteur n'est pas en lui-même positif ou négatif, mais il est en lui-même le négatif d'un autre connecteur.

Par convention, donc, un groupe de 8 connecteurs appelés positifs, composé de 5 binaires et de 3 non binaires, s'oppose à un groupe de 8 autres connecteurs qui sont les négatifs des premiers cités, composé lui aussi de 5 binaires et de 3 non binaires. 

 

 

Ce système de différences peut être synthétisé dans le schéma géométrique suivant (constellation de points en réseau orthogonal) :

 

            1           2          3          4          5

            *          *          *          *          *

                       8           7          6          

                        *          *          *

                       9         10         11

                        *          *          *

           16         15        14         13         12             

            *          *          *          *          *

 

Où la moitié supérieure de la structure représente l'ensemble positif (connecteurs 1 à 8), et la moitié inférieure l'ensemble négatif (connecteurs 9 à 16); tandis que la partie intérieure de la structure représente l'ensemble des six connecteurs non binaires, et sa partie extérieure, l'ensemble des dix connecteurs binaires. 

Dans ce schéma topologique, la relation de symétrie entre le haut et le bas de la structure est la relation de négation logique. Les connecteurs du bas de la structure sont la négation des connecteurs du haut. Tandis que la relation entre la gauche et la droite de la structure est la relation de réciprocité logique. Par exemple, la relation « implique » (15) est la réciproque de la relation « est impliqué par » (13); la relation « et » (1) est la réciproque de la relation « ni, ni » (5). Quant à l’axe de symétrie vertical de la structure, il est constitué des quatre connecteurs qui n'ont pas de réciproque.

Il n'est pas difficile de s'apercevoir que, par une déformation convenable, cette structure constitue le plan de construction d'un triangle gnomonique de rang 4.

  

  

Si l'on examine le plan de construction, représenté ci-dessus par le développement de la chaîne des nombres 1 à 16, on remarque qu'il se conforme aux règles conventionnelles suivantes :

 

1- La chaîne se développe sans rupture de continuité.

2- Le passage d'un "maillon" au suivant s'effectue par une rotation de 180 degrés du triangle originaire, numéroté 1, soit sur l'un de ses sommets, soit sur l'un de ses côtés, autour d'un axe quelconque du plan, de façon qu'un seul triangle soit en mesure de construire la figure complète par un mouvement rotatif ininterrompu, et intégralement coordonné, dans l'espace euclidien.

3- Le point d'arrivée (16) rejoint le point de départ (1), de façon que la chaîne soit fermée.

4- Le sens de lecture principal de la chaîne, qui est déterminé par son origine, se déroule de gauche à droite, puis du haut en bas de la structure.

5- Le point de départ de la chaîne se situe à gauche de la structure.

           

Par une déformation convenable de la structure qui est celle de la construction du triangle, on constate qu'elle se transforme en celle de notre constellation orthogonale, de sorte qu'à chacune des symétries du système des connecteurs correspond une symétrie bien réelle du triangle, qui fait correspondre 8 triangles à 8 autres au sein d'une relation biunivoque.

 

 

Dans cette application, à chacun des quatre étages, ou lignes, de notre constellation orthogonale, correspond une séquence de la construction du triangle gnomonique de rang 4.

Nous pouvons déjà remarquer que, dans le triangle gnomonique, un "bloc positif" (regroupant nos 8 connecteurs positifs) s'oppose à un bloc négatif, dans une relation où chaque objet possède un correspondant exclusif, le hasard voulant que soit ici appelé "positif" le pôle "femelle" de la structure, et "négatif" le pôle "mâle", contrairement à l'usage qui est le plus fréquent en mécanique.

 

 

bloc (ou pôle) positif           

 

bloc (ou pôle) négatif

  

Notons encore que, du fait de notre convention de numérotation des connecteurs de 1 à 16, si l'on additionne le numéro d'ordre d'un connecteur avec celui de son négatif logique, la somme est toujours égale à 17, le nombre 17 étant le "zéro logique" du système de numérotation.

 

          1          2          3          4          5                               6          7          8

            +          +          +          +          +                              +          +          +

            16        15        14         13        12                           11        10         9

            =          =          =          =          =                              =          =          =

            17        17        17         17        17                             17        17        17

 

Les relations arithmétiques entre les numéros d'ordre des connecteurs correspondent aux relations géométriques entre les points de la chaîne de construction. 

 

 

 

Topologie de la séquence de construction : les différences et les symétries correspondent à des inversions du vecteur de lecture.

 

Si nous reprenons la structure de notre constellation orthogonale, nous constatons que les changements logiques qui s'opèrent, dans le système des connecteurs, lors du passage d'un étage à un autre, correspondent, dans la séquence de construction du triangle, à une inversion du vecteur de lecture de la chaîne des nombres.

 

 

Ligne 1 : 5 connecteurs binaires positifs (connecteurs 1 à 5)

lecture : "gauche-droite"

 

Ligne 2 : 3 connecteurs non binaires positifs (connecteurs 6 à 8)

lecture : "droite-gauche"

 

Ligne 3 : 3 connecteurs non binaires négatifs (connecteurs 9 à 11)

lecture : "gauche-droite"

 

Ligne 4 : 5 connecteurs binaires négatifs (connecteurs 12 à 16)

lecture : "droite-gauche"

 

Les italiques indiquent la variable qui a changé à chaque "saut de ligne", et auquel correspond l'inversion du vecteur de lecture. On peut remarquer que ce système est logiquement continu, en ce sens que les relations de négation du second degré y sont toutes également respectées. 

Ainsi, la ligne 1 est le négatif logique de la ligne 4, et leur vecteurs sont inverses.

La ligne 2 est le négatif logique de la ligne 3, et leurs vecteurs sont également inverses.

Enfin, les lignes qui ont le même vecteur de lecture, à savoir les lignes 1 et 3 d'une part, et 2 et 4 d'autre part, sont des lignes séparées par une double négation logique, double négation qui correspond bien logiquement à l'identité.

La totalité des relations de négation binaire de notre constellation orthogonale (qui est celle du système des connecteurs) se trouve donc exprimée, de façon continuellement logique, par la mise en oeuvre d'un vecteur de lecture à orientation binaire, qui n'est autre, rappelons-le, que celui même de la construction d'un triangle gnomonique de rang 4.

A ce sujet, précisons un point important. Le vecteur de lecture "gauche-droite" qui pourrait, en première approximation, apparaître imprécis ou vaseux dans la construction du triangle gnomonique, est bien évidemment une réalité mathématique exacte, résultant du calcul vectoriel, dès lors qu'on définit ce vecteur comme celui reliant le point de départ au point d'arrivée de chaque ligne (ou étage) du diagramme.

   

  

Entre le point 1 et le point 5, on s'est déplacé selon un vecteur qui est rigoureusement "gauche-droite", quel que soit le détour effectué en chemin, et ceci est valable pour chacune des 4 lignes de notre diagramme. L'opération logique qui permet cette simplification vectorielle exacte n'est autre que le saut de ligne distinguant les différents étages de la structure.

En résumé, l'ensemble des relations d'opposition binaire (négation ou réciprocité) du système de la logique des connecteurs, se retrouve dans la structure d'un triangle gnomonique de rang 4. A chacune des relations de négation ou de réciprocité entre deux connecteurs, correspond, de façon biunivoque, une relation de symétrie ("haut-bas", ou "gauche-droite") entre deux parties du triangle gnomonique.

 

Le triangle gnomonique de rang 4 n'est autre que la tétractys à points triangulaires, dont on a déjà vu, au début de cet exposé, qu'elle contenait un système de coordonnée biunivoque de l'ensemble des nombres entiers, mais aussi des nombres décimaux et négatifs.

 

Finissons par une dernière remarque structurelle.

On se souvient que, dans le système des tables de vérité, il existe une opposition essentielle entre les dix connecteurs de sens binaire qui sont les formes accomplies ou remplies du système, et les 6 connecteurs de sens non binaire, qui correspondent aux formes échouées ou vides, mais aussi à la structure profonde, c'est à dire aux constituants sémantiques de celui-ci.

Dans le triangle gnomonique de rang 4, les dix connecteurs binaires correspondent tout simplement aux 10 points de la tétractys, qui sont ceux d'une constellation hexagonale, tandis que les 6 connecteurs non binaires correspondent aux 6 interstices, logiquement vides, de cette structure, qui forment le départ d'une seconde tétractys, démarrant avec un temps de décalage, et composée de triangles orientés en sens inverse des premiers.

C'est-à-dire que l'opposition fondamentale du plein et du vide logique qui est définie combinatoirement dans le système des tables de vérité, se retrouve - ou n'est autre - que celle même, du plein et du vide logique de la tétractys à points triangulaires.

 

 

connecteurs binaires

 

connecteurs non binaires

  

  

 

Le carré gnomonique

 

En appliquant la loi de transformation du triangle en carré, le triangle gnomonique de rang 4 se transforme en carré gnomonique de rang 4. Alors que, dans le triangle gnomonique, toutes les relations de symétrie s'organisaient autour d'un axe qui est la médiatrice verticale du triangle, dans le carré gnomonique correspondant, les mêmes relations de symétrie entre les connecteurs s'organisent autour de sa diagonale, sur l’axe de laquelle on retrouve les centres des quatre séquences ou « brins » qui étaient ceux de la construction du triangle gnomonique. Les deux classes de connecteurs, binaires et non binaires, se retrouvent en situation d'opposition polaire. Les 10 connecteurs binaires se répartissent dans le coin en haut à gauche de la structure, et les 6 connecteurs non binaires dans le coin en bas à droite.

   

        axe de symétrie

           connecteurs binaires

  

connecteurs non binaires

  

En conclusion, les deux systèmes : gnomon d'un polygone, et logique des connecteurs, correspondent par une interface qui est celle de la structure logique; et cette correspondance se manifeste, en premier lieu, par la coïncidence de leurs cycles de clôture. De même qu'il faut et il suffit d'un carré de 4 cases, pour désigner l'ensemble des connecteurs de la logique des tables de vérité, de même, il faut et il suffit d'un polygone gnomonique de rang 4, triangle ou carré, pour exprimer l'ensemble des relations logiques détaillées existant entre ces connecteurs.