• Prologue

      

      

    La mathématique pythagoricienne

      

      

     

    par Guillaume DENOM

     

     

     

    Apprendre à compter jusqu'à quatre, mais sans rien oublier en chemin, et en étant attentif à remarquer, chaque fois, ce qui est clos et complet au nombre quatre : tel est le programme mathématique proposé par Pythagore.

     

     

     

     

    Une figure, un pas.

     

    « Symboles pythagoriciens », Protreptique, Jamblique

     

      

     

     

    Par celui qui transmit à notre âme la tétractys sacrée, source de la Nature dont le cours est éternel.

     

    Serment pythagoricien, Vers d’or de Pythagore

     

     

     

     

     

    La décade est également appelée Foi. L’explication donnée par Philolaos est que, lorsque nous cherchons à saisir la réalité de manière approfondie, nous accordons à la décade et à ses parties une foi inébranlable.

     

    Théologoumènes arithmétiques, Pseudo-Jamblique

     

     

     

     

    C’est le Nombre qui, en rendant toutes choses adéquates à l’âme par la sensation, les rend connaissables et commensurables entre elles selon la nature du gnomon.

     

    Fragments, Philolaos

      

     

     

          

     

      

      *  *  * 

     

     

    Si, pour le grand public, l’héritage mathématique de Pythagore est associé au théorème de l’hypoténuse qui a emprunté son nom, bien qu’il ait été connu longtemps avant Pythagore, pour les pythagoriciens, cet héritage consiste, principalement, en quatre notions mathématiques, notions qui ne sont pas seulement des théories, mais des idées mathématiques au sens le plus fort, incluant chacune une variété indéfinie de théories. Ces notions fondamentales sont : la tétractys, les médiétés, le gnomon et les solides réguliers.

     

    Parmi ces quatre notions, la première, la tétractys, a en outre la propriété de contenir les trois qui la suivent. C’est à relier ces notions par le chemin mathématique le plus court que sera consacré cet exposé.

     

    La mathématique pythagoricienne est une mathématique élémentaire, dans les deux sens que revêt ce mot. D’une part, elle ne comporte rien de très difficile, rien qui soit hors d’atteinte d’un lecteur cultivé; - et, pour ce qui concerne le présent exposé, ceux qui seraient rebutés par les démonstrations pourront, sans inconvénient pour la suite, laisser de côté les articles 6 et 7 de la première section, où se trouve concentrée la seule partie démonstrative de ce texte. Mais d’autre part, la mathématique pythagoricienne est élémentaire en ce qu’elle porte sur les principes, les éléments premiers de la mathématique, qu’elle se propose de définir et de fonder à partir d’une seule pensée originaire.

     

    Cette mathématique est donc une réflexion sur le concept général de la science, qui s’attache à définir ce qui est premier dans chacun des domaines où celle-ci peut s’exercer. Par ce côté, son propos aura peut être plus de chance d’intéresser le philosophe ou l’épistémologue, que le mathématicien spécialisé, installé dans ses habitudes modernes.

     

    Il ne sera presque jamais question, ici, des débats contemporains relatifs à l’histoire du pythagorisme. En l’absence de tout document sur le savoir de Pythagore, les historiens se trouvent réduits à des suppositions purement conjecturales. De plus, la plupart sont dominés, voire possédés, par le préjugé moderne que la science a toujours évolué par une progression graduée. Le plus ancien traité de mathématique connu étant les Eléments d’Euclide, ils sont conduits à supposer toute une série de « progrès » de Pythagore à Platon, à Aristote ou à Euclide ; alors même que ce qui s’est produit durant cette période est exactement le contraire, savoir, une série de régressions sans équivalent dans l’histoire de la pensée, véritables catastrophes intellectuelles qui ont abouti à ce que la science, dont les principes s'étaient dévoilés dans toute leur pureté dans la pensée d’un homme, s’est retrouvé enfouie et emprisonnée pendant deux millénaires.

     

    Abandon de la doctrine du nombre naturel au profit du nombre « idéal » (Platon) ; abandon de la logique mathématique au profit de la logique langagière, abandon de la physique mathématique au profit d’une physique purement empirique, abandon de la cosmologie héliocentrique au profit du géocentrisme (Aristote) ; enfin, abandon de la primauté du nombre sur la figure (Euclide) : tels sont les principaux « progrès » survenus entre l’époque de Pythagore et celle qu’on a coutume de considérer comme l’âge d’or de la pensée grecque.

    A la fin du XIXe siècle, certains historiens ont cru reconnaître dans la mathématique pythagoricienne des conceptions ressemblantes à celles de la mathématique moderne; et ils ont forgé l’expression d’ « algèbre géométrique » pour caractériser cet ensemble de spéculations, situées à l'interface entre la théorie du nombre et la géométrie, sans s’apercevoir que le domaine défini par ces spéculations était celui de la logique mathématique, dont l’objet est de traiter, précisément, des structures communes à ces deux sciences : arithmétique et géométrie.

     

    Alors, plutôt que d’entrer dans les vues de ces historiens autoproclamés, qui ne sont en réalité que de modernes mythographes, et qui, à force d’enfermement dans la méthode critique, de refus de la tradition pythagoricienne, ont tendu de plus en plus à déposséder Pythagore de toute pensée originale, on se fiera plutôt au sentiment de ceux qui furent les restaurateurs de la science, les Copernic, Kepler, Newton, tous pythagoriciens fervents*, et qui étaient pleinement conscients de renouer avec ce fil ancien de la pensée.

      

      

    *Avec son mépris ou son indifférence pour les "mathématiques pures" (autres qu'appliquées aux problèmes physiques),  et sa robuste philosophie de marchand de lunettes, l'anti-pythagoricien Galilée demeure, il est vrai, le père de la science "positive" et technicienne; cette science qui a libéré l'homme du souci de la connaissance absolue, en acceptant de limiter son intelligence à la seule distinction de "ce qui marche" et "ce qui ne marche pas".

     

     

      

      


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