• Les définitions vagues du gnomon

     

     

     

    LES DEFINITIONS VAGUES DU GNOMON

     

     

      

     A. Le gnomon géométrique

     

    Dans ses Eléments de géométrie, Euclide emploie le terme "gnomon" pour désigner une relation qui est exclusivement géométrique, et non arithmétique, et qui est celle, absolument générale, qu'entretiennent entre eux deux polygones semblables, mais de dimensions différentes, quelles que puissent être ces dimensions. En effet, en prenant, par exemple, deux carrés de dimensions différentes, (ces dimensions étant absolument quelconques), et en les coordonnant par un de leurs angles, on fait apparaître une figure en forme d'équerre, définie par la différence entre les deux carrés. Euclide appelle donc "gnomon" la simple différence entre ces deux carrés, autrement dit la figure qu'il faut ajouter au plus petit pour obtenir le plus grand.

      

      

    Défini ainsi, le gnomon revêt une signification qui est donc, dans son contenu, un simple corrélat de la notion commune de croissance géométrique, - une signification qui est donc à la fois très générale, mais singulièrement appauvrie sur le plan des principes. 

    En effet, dans cette définition, de nombreux éléments appartenant à la théorie exacte du gnomon sont laissés de côté. Notamment, la notion quantifiée de gnomon minimum d'un polygone; ainsi que de multiples notions logiques, telles que les notions d'espace logique, de système de différences combinatoires, notions qui, comme nous le montrerons dans la dernière partie de cet exposé, découlent uniquement de la théorie exacte du gnomon.

    Le gnomon, rappelons-le, est une structure logique, qui en tant que telle, n'appartient en propre ni à l'arithmétique, ni à la géométrie, mais à leur interface, à la paroi entre ces deux sciences, dont le propre est d'exprimer, précisément, ce qu'elles ont en commun.

      

    En géométrie, toute figure pouvant être augmentée par croissance continue possède, par définition, un gnomon; le gnomon ainsi défini se réduisant à la notion même de croissance géométrique.

    Parmi les structures gnomoniques les plus fréquemment étudiées figurent, outre les polygones et polyèdres, le cône, ainsi que diverses figures tridimensionnelles en formes de coquillages ou de cornes, qui sont des figures engendrées par le développement d'une spirale logarithmique.

    Le gnomon géométrique, ou "gnomon euclidien", est donc un instrument privilégié pour explorer tous les problèmes de croissance ou d'augmentation, non seulement mathématiques, mais physiques, et l'étude mathématique de structures telles que la corne, le coquillage, a fait l'objet d'un traitement par le savant naturaliste D'arcy Thompson, dans son livre Forme et croissance. 

    Certains pourraient nous objecter que la définition euclidienne est en accord avec un usage courant du mot gnomon, qui désigne un instrument d'astronomie fondé sur le principe de l'ombre portée. Mais cette objection ne résiste pas au simple examen de la tradition pythagoricienne. Ce n'est pas d'un tel instrument que nous parle Philolaos, lorsqu'il définit le gnomon comme matrice du nombre et paradigme de la connaissance, ou Philopon, lorsqu'il énonce que les gnomons sont les nombres impairs.

     

     

    B. La théorie pseudo-pythagoricienne des « nombres figurés »

     

    Bien qu'il soit habituel de considérer la théorie des nombres figurés comme appartenant au fond théorique de l'ancien pythagorisme, nous n'avons pu lire aucun argument capable de nous en convaincre. Tout ce que nous savons de l'histoire du pythagorisme, nous incite plutôt à penser le contraire. 

    En premier lieu, cette théorie (qui n'est pas une théorie) est contredite, et prouvée non pertinente, par la véritable théorie mathématique du gnomon. Donc, même si ces spéculations étaient anciennes, elles ne pourraient être le fait que de pythagoriciens acousmatiques, qui n'avaient pas accès à la connaissance des véritables théorèmes. 

    Dans cette théorie, les pythagoriciens auraient voulu "représenter" des nombres par des constellations de points; et, à côté des nombres "triangles" et "carrés", auraient ainsi défini toutes sortes de nombres semblables, pentagonaux, hexagonaux, etc.

     

    Avec cette méthode, on définit ainsi des «  nombres triangles » : 1, 3, 6, 10, etc.

     Les définitions vagues du gnomon

      

    Des « nombres carrés » : 1, 4, 9, 16, etc

      

     

    Ou encore des « nombres pentagonaux » : 1, 5, 12, 22, etc

     

     

     

    Il en résulte une nouvelle définition du gnomon, selon laquelle le gnomon est la quantité de points qu'on ajoute, à chaque étape du processus, pour que la figure de base soit reconstituée.

      

     

    On aperçoit toute de suite une différence fondamentale avec la théorie du gnomon. Dans cette dernière, on raisonne sur des constellations de points qui sont les centres des polygones considérés (triangles ou carrés), en accord avec la sentence classique : "une figure, un pas". Au lieu que, dans la théorie des nombres figurés, on raisonne sur des constellations de points qui sont les sommets des figures considérées. Il en résulte ce paradoxe immédiat :  que l'unité ne peut être considérée autrement que comme un nombre à la fois triangle, carré, pentagonal, etc, alors qu'elle n'est en réalité rien de tout cela, puisqu'elle est un point. Dans la théorie du gnomon, le paradoxe est absent. L'unité - ou atome - n'est pas un polygone "en puissance", mais une figure bien réelle : un triangle ou un carré. 

    Mais le problème le plus grave de cette théorie, c'est qu'elle se résume à un jeu purement arithmétique, qui ne désigne aucune propriété géométrique pertinente des figures en question.

    Le jeu dont il s'agit est équivalent à celui qui consiste à dire : que se passe-t-il si je dispose des boules aux quatre coins d'un carré, puis au milieu de chaque côté, puis au milieu de chacun des nouveaux segments délimités, et ainsi de suite. Le résultat obtenu ne contient pas d'information géométrique intéressante sur le carré,  puisqu’il résulte d'une règle purement arithmétique, qui marcherait tout aussi bien avec une figure en forme de ligne brisée comportant le même nombre de segments que le carré. De la même manière, dans la théorie des nombres figurés, les figures ne constituent, tout bien considéré, qu'un catalogue de représentations "graphiques" pour diverses formules de calcul, dont la substance est purement arithmétique, - catalogue qui ne présente donc pas d'ordonnance ni de raison systématique, faute de justification dans l'ordre mathématique de la symétrie, qui est  le seul dans lequel une théorie de ce genre pourrait consister.

    En définitive, seuls les nombres triangles et carrés, qui sont ceux qui ont une réelle pertinence en terme de symétrie, puisqu'ils correspondent à des réseaux hexagonaux et orthogonaux réguliers, présentent aussi un intérêt pour la théorie du gnomon; mieux, on peut faire remarquer que la théorie du nombre figuré a formulé un principe qui n'est qu'une transformation de la loi du gnomon, à savoir : que deux nombres triangulaires successifs forment un nombre carré. 

    En effet, on  a vu que tout polygone gnomonique de rang supérieur à un, triangle ou carré, était composé de deux "nombres triangulaires" successifs, c'est à dire de deux réseaux hexagonaux entrelacés, ou encore, de deux structures tétractyques démarrant avec un temps de décalage.

    Comme il existe de nombreux sites internet ou ces jeux mathématiques sont abordés, on se dispensera de le faire ici, d'autant qu'ils n'ont, comme on le voit, presqu'aucun rapport avec la véritable théorie du gnomon.

    Pour nous résumer, alors que le gnomon euclidien est une notion purement géométrique, sans contenu arithmétique, le gnomon de la théorie du nombre figuré, au contraire, est un jeu arithmétique, sans contenu géométrique pertinent, et dont l'intérêt mathématique peut en toute justice être comparé à celui d'une table de multiplication. Or, comme on l'a vu, la véritable théorie du gnomon n'appartient spécialement ni à l'arithmétique, ni à la géométrie, mais à l'exacte interface entre ces deux sciences, qui est la logique pythagoricienne.

     

    Par chance, la tradition a conservé divers témoignages de l'ancienneté de la théorie exacte du gnomon.

    On peut citer Aristote :

    "Eurytos, pour sa part, attribuait un nombre à chaque chose, (...) comme on ramène les nombres aux figures du triangle et du carré." (Où il n'est pas question d'autres polygones).

    Un témoignage encore plus décisif est celui de Jean Philopon, qui, dans son commentaire de la Physique d'Aristote, affirme que les anciens appelaient gnomons les nombres impairs. Autrement dit : G = I. On est loin d'Euclide; mais cette définition disqualifie également la théorie du nombre figuré, puisque, dans cette dernière, seuls les gnomons de la série des "nombres carrés" peuvent être appelés "impairs", les autres séries de gnomons n'ayant aucun rapport avec la série des impairs.

    En complétant la proposition de Philopon (G = I) par l'indication donné par Aristote, selon laquelle les figures à prendre en considération pour la théorie du nombre, sont le triangle et le carré, on reconstitue la loi du gnomon : G (t) = G (c) = I.

    Mais sans chercher aussi loin, rappelons-nous que les expressions "carré" et "cube" appliquées aux puissances 2 et 3 d’un nombre, transmises sans interruption, depuis l'ancien pythagorisme, par la tradition mathématique, ne s'expliquent, elles aussi, que dans le cadre de la théorie exacte du gnomon, - du moins, cette théorie est le seul cadre dans lequel elles s'explicitent parfaitement, sans paradoxe sur le statut de l'unité.

     




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