• Gnomon d'un polygone régulier

      

     LA THEORIE DU GNOMON

     

     

     

      

    GNOMON D’UN POLYGONE REGULIER

     

      

    La loi du gnomon

     

    Le gnomon du carré est égal au gnomon du triangle équilatéral, égale 3.

     

    G (c) = G (t e) = 3

     

    Définition : On appelle gnomon d’un polygone régulier, la plus petite quantité du même polygone, que l’on doive lui ajouter, pour qu’un polygone semblable soit reconstitué.

    A tout carré, il faut ajouter 3 carrés identiques au premier, pour qu’un carré soit reconstitué.

    A tout triangle équilatéral, il faut ajouter trois triangles équilatéraux identiques au premier, pour qu’un triangle équilatéral soit reconstitué. 

       

    Pour chacun de ces polygones, on a :

    G(g) = 3g

    "Le gnomon de l'objet g est égal à 3g"

    Ou encore : pour chacun de ces polygones, le rapport de l'objet g à son gnomon est de 1/3.

    Ainsi, de la même manière qu'il faut compter jusqu'à quatre, qu'il faut quatre "pas" pour avoir la base arithmétique (10), pour avoir les dimensions de l'espace et les objets premiers de la géométrie, mais aussi les rapports musicaux fondamentaux, de même, il faut quatre pas pour avoir la structure du gnomon.

    Notons que le triangle gnomonique de rang 2 (c'est à dire de "côté" 2), ci-dessus, est matériellement identique à un tétraèdre déplié. Or on a vu qu'il suffisait de quatre "pas" (quatre points) pour construire le tétraèdre, et ces quatre points de référence peuvent être aussi bien les sommets du tétraèdre, que les centres de ses quatre faces, repérés ci-dessus par des points, et reliés entre eux par un trépied. Le tétraèdre, qui est le plus simple des polyèdres, et le triangle gnomonique de rang 2, qui est le premier et le plus simple des gnomons, doivent donc être compris comme deux modalités contigües, bien que mathématiquement distinctes, de la "clôture à quatre" : l'une géométrique, l'autre, comme on le verra dans nos deux derniers articles, de nature essentiellement logique.

     

      

      

    Loi de progression impaire et infinie des gnomons successifs du triangle et du carré

     

    Si l’on ajoute à un triangle équilatéral ou à un carré une quantité indéfinie d’objets identiques au premier, la figure initiale se reconstitue à l’infini au moyen de gnomons successifs, dont les valeurs sont celles des entiers impairs supérieurs à 1.

     

     

     

     

    La progression des gnomons successifs du triangle équilatéral et du carré, n’est autre que la progression infinie des nombres entiers impairs supérieurs à 1. Ou encore : l’ensemble des gnomons du triangle équilatéral et du carré, correspond à l’ensemble des entiers impairs supérieurs à 1. 

    Dans l'esprit de la mathématique moderne, il est possible de considérer l'unité, appelée aussi graine du gnomon, comme "gnomon de rang zéro", ou gnomon nul, et dans ce cas on obtient :

     

    G (te) = G (c) = I

     

    L'ensemble des gnomons du triangle équilatéral, est égal à l'ensemble des gnomons du carré, est égal à l'ensemble des entiers impairs.

     

    Bien qu'on puisse en être surpris, cette loi, qui est l'une des plus importantes de la mathématique pythagoricienne, ne figure, à notre connaissance, dans aucun livre de mathématique ancien ou moderne.

     

     

     

    Loi de croissance arithmétique et infinie des côtés des carrés et triangles gnomoniques

     

    On appelle polygone gnomonique de rang n, tout carré ou triangle reconstitué, formé d’un carré ou d’un triangle originaire, appelé graine, et d’une quantité quelconque - inclue zéro - de ses gnomons successifs.

    Le polygone gnomonique de rang 1 n'est autre la graine (gnomon zéro).

    Les objets suivants sont tous des carrés ou des triangles gnomoniques.

     

     

    La croissance des côtés des polygones gnomoniques successifs, formés à partir d’un polygone quelconque (graine), de valeur 1, n’est autre que la croissance des nombres entiers naturels.

     

      

     

    Si la graine, triangle ou carré, mesure 1 cm, alors, les triangles ou carrés gnomoniques de rang (2, 3, 4...) formés à partir de cette graine mesureront respectivement (2, 3, 4…) cm.

      

      

     

    Loi de progression carrée des aires des polygones gnomoniques

         

    Les valeurs des aires des polygones gnomoniques successifs sont égales aux carrés des nombres entiers naturels.

     

    Par application directe de ce que nous venons d’exposer sur les côtés des polygones gnomoniques, on constate que la croissance de la surface, de l’aire, des polygones gnomoniques successifs, n’est autre que celle des carrés des nombres entiers naturels. 

     S ( PG ) = n2

    Où n est le nombre entier correspondant au côté du polygone. 

    Si nous avons adopté la convention d’appeler « carré » la puissance 2 d’un nombre, son produit par lui-même, c’est en illustration directe de la loi du gnomon, qui veut que le carré se reconstitue selon un rythme qui n’est autre que celui des « puissances 2 » du nombre entier naturel. 

    On peut penser que cet usage, conservé jusqu'à nous par la tradition mathématique, est un héritage direct de la spéculation pythagoricienne sur le gnomon. Néanmoins, en toute rigueur, nous devons remarquer que rien n’empêche d’appeler « triangles » les nombres que nous appelons « carrés », puisqu’on a vu que le triangle gnomonique se reconstituait selon les mêmes valeurs numériques que le carré. La préférence donnée au carré pour symboliser la puissance 2 du nombre, s'explique uniquement par le fait que, pour le carré, la correspondance entre nombre et figure peut se poursuivre dans la troisième dimension (nombres cubiques), comme on le verra dans le prochain article, ce qui n'est pas le cas pour le triangle. 

     

       

     

    Complétude du système

     

    Un polygone régulier du plan est une figure fermée du plan dont tous les côtés sont égaux.

    Le triangle équilatéral est le polygone régulier qui possède le plus petit nombre de côtés (puisque avec deux segments, on ne peut former une figure fermée.) A chaque nombre entier supérieur à 2, correspond donc un polygone régulier.

     

    Dans la série infinie des polygones réguliers, seuls le triangle équilatéral et le carré possèdent un gnomon.

      

    Démonstration.   

    En premier lieu, pour qu’un polygone régulier puisse avoir un gnomon, il est nécessaire que ce polygone soit une solution de pavage continu du plan. En effet, les polygones gnomoniques, qui sont simplement des polygones formés de parties semblables à eux-mêmes, sont des figures complètes et continues du plan, sans reste ni vide. Or seuls trois polygones réguliers sont des solutions de pavage continu du plan : le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone. (La démonstration de cela est du domaine public). L’hexagone ne possède pas de gnomon, car il est impossible de construire un grand hexagone au moyen d’hexagones plus petits. Donc, seuls le triangle équilatéral et le carré possèdent un gnomon.

     

      

     

    Gnomons et symétrie

      

    A. Le carré

     

    Si l’on examine un carré gnomonique de rang quelconque, on constate que les centres des carrés élémentaires forment une constellation de points, distribués dans le plan en symétrie orthogonale.

      

     

    Notons que cette symétrie est la même que celle qui existe entre les points qui sont les sommets des carrés atomiques ou élémentaires.

     

     

    B. Le triangle

     

    Si l’on examine maintenant un triangle gnomonique de rang quelconque, on constate que les centres des triangles élémentaires se distribuent selon une symétrie dihexagonale.

      

      

    Cette symétrie est différente de celle qui existe entre les points qui sont les sommets des triangles élémentaires, et qui est une symétrie hexagonale simple. Une symétrie dihexagonale est un système plus complexe qu’une symétrie simplement hexagonale, puisqu’elle est constituée de deux réseaux hexagonaux entrelacés, comme on le voit ci-dessous.

     

       

    Pour caractériser la différence entre les deux systèmes, on peut remarquer que les noeuds d’un réseau hexagonal sont reliés par des triangles, alors que ceux d’un réseau dihexagonal sont reliés par des trépieds. 

     

         Gnomon d'un polygone régulier

        Réseau hexagonal      Réseau dihexagonal     Triangle gnomonique

             (triangles)                      (trépieds)

      

    Dans le schéma ci-dessus à droite, on voit bien que si les sommets d’un triangle gnomonique appartiennent à la première sorte de symétrie, les centres du même triangle appartiennent, eux, à la seconde.

     

     

     

    Remarque

     

    Dans la théorie pseudo-pythagoricienne des "nombres figurés", les « nombres carrés » (engendrés en comptant les points d’une constellation orthogonale) sont comparés aux « nombres triangles » (comptés sur une constellation hexagonale), et leur sont opposés, comme formant deux familles différentes. Mais dans la théorie mathématique rigoureuse du gnomon, une telle façon de procéder n’a pas de sens, car les nombres auxquels doivent être comparés, en toute rigueur, les nombres carrés, ce ne sont pas les nombres triangulaires, mais les nombres trépieds, dénombrés sur une constellation di-hexagonale. Et ce que l’on obtient alors, ce n’est pas une « opposition » entre deux familles, mais une équation :

     

     Le nombre carré est égal au nombre trépied.

     

    N ( C ) = N ( T )

      Gnomon d'un polygone régulier

    En appelant ici "nombre trépied" le nombre de points que l'on obtient en empilant progressivement des trépieds les uns sur les autres, selon une progression arithmétique, ou "pyramidale", analogue à celle de la tétractys.

      

      

      

    Loi de transformation du triangle en carré

     

    Il est possible de donner de cela une démonstration géométrique.

    Dans tout triangle gnomonique de rang supérieur à 1, on remarque l’alternance entre des triangles orientés « pointe en haut » (en gris), et d’autres, en nombre inférieur, orientés « pointe en bas » (en blanc).

      

    En faisant subir à ces triangles blancs une rotation de 180 degrés sur la base horizontale du triangle gnomonique, on obtient un parallélogramme qui, moyennant un simple changement de paramètre angulaire (passage du mode di-hexagonal au mode orthogonal) s'avère être un carré gnomonique.

     

                                                                                

    Rotation des triangles "pointe en bas"        Modification du paramètre angulaire

    de 180 °                                                                             (de 60 ° à 90 °)

     

    A n’importe quelle échelle de son développement, le triangle gnomonique se transforme en carré gnomonique au moyen de ces deux opérations : rotation de 180 degrés des triangles « pointe en bas », et variation de 30 degrés du paramètre angulaire.

     

               


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