La structure logique du gnomon : 1

 

   

LA STRUCTURE LOGIQUE DU GNOMON (I) 

Connecteurs binaires et carré logique

  

  

  

 Introduction

  

Si, d'une certaine manière, la mathématique toute entière peut être considérée comme une interface entre nombre et figure, la théorie du gnomon possède une particularité exclusive, qui est d'associer de façon biunivoque, et au niveau le plus fondamental, les notions de nombre entier et de figure entière. En effet, ce qui est en question dans cette théorie est un objet mathématique qui est précisément le nombre de figures. Le gnomon est le nombre de figures, que l'on doit ajouter à une figure, pour la reconstituer.

Dans cette théorie, "arithméticité" et "géométricité" se trouvent donc impliquées à parts égales; les gnomons sont des objets dont la nature est inséparablement, arithmétique et géométrique. Dans l'ordonnance de la science pythagoricienne, la théorie du gnomon ne peut donc pas, sans arbitraire, être rangée dans une de ces sciences plutôt que dans l'autre, et c'est pour cela qu'elle constitue le fondement d'une troisième.

Les gnomons possèdent, en premier lieu, les propriétés logiques qui sont celles d'un tableau. Ils présupposent, comme on l'a vu, les notions d'atome et de système. Mais ils possèdent aussi des propriétés structurelles plus profondes, au point d'apparaître comme des candidats au statut de notions centrales, fondatrices, de la logique mathématique. Dans ces deux derniers articles, l'enquête sera poussée un peu plus loin, et nous verrons que ces gnomons peuvent être traités comme de véritables blocs de logique pure; - nous verrons qu'ils permettent, en particulier, de retrouver un matériel équivalent à celui de la logique moderne des tables de vérité; le système de symétries qui se déploie dans l'espace du gnomon, étant, dans sa structure et sa forme, identique au système de différences qui caractérise cette logique des tables de vérité.

  

 

  

Le carré logique

 

Le carré gnomonique de rang 2, qui est un carré composé de 4 cases égales, peut être considéré comme un système de différence informationnelle. 

En effet, si l'on autorise, par exemple, pour toute case du carré gnomonique, 2 valeurs  ou "états" possibles - ici blanc ou noir - on obtient un système de différences combinatoires, constitué de 2⁴ = 16 possibilités qui sont les suivantes :

 

 

 

Mais avant d'aller plus loin dans l'examen de ce système, nous devons ouvrir une parenthèse pour présenter succinctement le principe de la logique des tables de vérité.

Pour le moment, on retiendra simplement que, dans cette étude, on appelle "carré logique" le système de différences combinatoires contenu dans un carré gnomonique de rang 2, lorsque chacune de ses cases a deux valeurs, ou deux états possibles - pour nous : "blanc" ou "noir".

 

 

  

La construction mathématique de la signification logique

 

La logique des tables de vérité est un système qui permet de créer des significations multiples et complexes, à partir de significations élémentaires plus simples, et peu nombreuses. Le moyen mis en oeuvre est celui de la combinatoire. Des significations logiques riches et diversifiées, telles que les notions de relation entre deux énoncés, du genre : "et", "ni, ni", "ou inclusif", "si et seulement si" (ces 4 éléments étant soustraits d'un ensemble qui en compte 16), sont "fabriquées" par la seule combinaison d'éléments de signification plus simples : les valeurs de vérité V et F (vrai et faux), les énoncés atomiques quelconques notés p et q, enfin la notion de relation combinatoire ou de connecteur binaire, entre deux énoncés p et q. 

La définition de ces notions élémentaires ne nécessite pas une extrême précision, dans la mesure où tout leur contenu réside, non en elles-mêmes, mais plutôt dans leur différence avec les autres, dans le système résultant de leur combinaison. Un texte court peut donc suffire à définir toutes ces notions, du fait de la solidarité de chacune avec les autres, en supposant que les constituants ultimes de la signification de mots tels que "vrai", "faux", "proposition", tombent suffisamment dans l'intuition.

 

Définitions :

 

"Un énoncé est une proposition qui a deux valeurs de vérité possibles : "vrai" ou "faux". Un connecteur binaire est une relation logique entre deux énoncés p et q, dont la valeur de vérité est connue pour toutes les valeurs de vérité possibles de p et de q."

Voyons maintenant le moyen par lequel des notions de relation complexes telles que "et", "ni, ni", peuvent être construites à partir d'éléments aussi réduits que ceux détaillés dans la définition ci-dessus.

Dans le système des tables de vérité, on ne considère les énoncés logiques que sous un unique aspect : le fait qu'ils soient vrais ou faux.

Autrement dit, la relation "et" signifie simplement que les énoncés p et q sont tous les deux vrais, la relation "ni, ni", que ni p ni q ne sont vrais, la relation "implique" se dit : "si p est vrai, alors q est vrai", etc.

A présent, pour être tout à fait complet, nous pouvons définir la relation "et" comme la relation qui est vraie lorsque p est vrai et q vrai, et qui est fausse dans tous les autres cas. Mais quels sont ces autres cas? Il y en a trois. Lorsque p est vrai et q faux; lorsque p est faux et q vrai; lorsque p et q sont tous les deux faux. Autrement dit, la relation "et" est la relation qui a pour "table de vérité" la séquence VFFF, qui signifie : "vrai dans le premier cas et faux dans les trois suivants".

On voit qu'il est facile, d'ores et déjà, de définir de cette manière la relation "ni, ni". En effet, la relation "ni, ni" est la relation qui a pour table de vérité la séquence FFFV, c'est-à-dire qu'elle est vraie dans le quatrième cas et fausse dans les trois premiers.

A la question : combien y a-t-il de "connecteurs" ou de relations binaires de ce genre? La réponse est : autant qu'il y a de façons possibles de remplir un diagramme de 4 cases avec les lettres V et F : il y en a donc 16.

Nous les exposons ci-dessous verticalement, en leur attribuant un numéro d'ordre qui ne s'expliquera que dans le prochain article, et que l'on demande au lecteur d'accepter pour le moment comme une convention arbitraire, et nous détaillons ensuite les significations de ces connecteurs en langage naturel, significations sur lesquelles nous reviendrons ensuite de façon plus détaillée. 

  

p

q

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

V

V

V

F

F

F

F

V

V

V

F

F

F

V

V

V

V

F

V

F

F

V

V

F

F

F

V

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

F

F

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

V

  

1 : VFFF : « et »

2 : FVFF : « contre-implique »

3 : FVVF : « ou exclusif »

4 : FFVF : « est contre-impliqué par »

5 : FFFV : « ni… ni… »

6 : VFVF : « q » ou « identité de q »

7 : VVVV : « toujours vrai »

8 : VVFF : « p » ou « identité de p »

9 : FFVV : « non p » ou « négation de p »

10 : FFFF : « toujours faux »

11 : FVFV : « non q » ou « négation de q »

12 : VVVF : « ou inclusif »

13 : VVFV : « est impliqué par »

14 : VFFV : « si et seulement si »

15 : VFVV : « implique »

16 : FVVV : « est incompatible avec »

 

 

On remarque que les 16 relations logiques entre deux énoncés p et q, les 16 connecteurs binaires, sont identiques aux 16 carrés logiques bicolores présentés en introduction.

 

En effet, si l'on convient qu'à la table de vérité d'un connecteur, composée des lettres V et F, et lue de gauche à droite selon la liste ci-dessus, correspond un carré logique lu dans cet ordre constant :

 

            1 2

            3 4

 

Et si l'on attribue à chaque valeur de vérité une couleur également constante, (par exemple : Vrai = Blanc; Faux = Noir), alors, il existe une application biunivoque qui attribue, à chacun des connecteurs du langage logique, un et un seul carré logique. Autrement dit : les carrés logiques ne sont rien d'autre que des noms logiques des connecteurs du système des tables de vérité.

 

*

 

Après avoir établi que les carrés logiques bicolores sont des noms logiques des relations - ou connecteurs - du système des tables de vérité, nous pouvons porter un regard vers le but de cet article, qui est de montrer que le contenu sémantique, que les significations de ces connecteurs, se reflètent, elles aussi, dans la structure matérielle des carrés logiques qui leur correspondent.

Pour le montrer, il nous faut pénétrer plus avant dans le contenu sémantique du système des tables de vérité.

 

  

 

Analyse du système sémantique

 

Les 16 connecteurs binaires se répartissent en deux classes logiques rigoureusement distinctes.

 

A) Les connecteurs binaires de sens binaire, au nombre de 10.

 

Ce sont, outre les relations "et" (1), et "ni… ni…" (5), déjà évoquées, dont l’intuition est assez évidente, un groupe de 4 : "implique" (15), "contre-implique" (2), "est impliqué par" (13), "est contre-impliqué par" (4), dont le sens logique rigoureux doit se construire à partir du premier : "implique" signifie "si p (est vrai), alors q (est vrai)". Pour les trois autres, on obtient : "si p alors non q", "si q alors p", "si q alors non p".

Quatre autres connecteurs : "ou exclusif" (qui signifie qu'entre les énoncés p et q, un seul est vrai) (3), "ou inclusif" (qui signifie qu'au moins l'un d'entre eux est vrai) (12), "si et seulement si" (14), "est incompatible avec" (16).

 

 

B) Les connecteurs binaires de sens non binaire.

           

Cette classe se divise à son tour en deux sous-classes.

 

a) Les connecteurs unaires, au nombre de 4.

 

Ce sont des connecteurs dont les tables de vérité n’énoncent pas autre chose que "p" (8), "non p" (11), "q" (6) et "non q" (9).

Si, dans le connecteur pRq dont la table de vérité énonce "p", il y a bien une sorte de relation entre p est q, cette relation n’est autre que l’identité de p avec lui-même. pRq est ici la relation de p avec q qui laisse p inchangé, identique à lui-même.

Ces connecteurs sont donc en réalité des connecteurs unaires; et il n’existe que deux connexions unaires : l’identité et la négation - ici, l’identité et la négation de p et de q.

 

 

b) Les connecteurs nuls

 

Enfin, deux connecteurs, dont les tables de vérités sont VVVV (7) et FFFF (10), qu’on a coutume de qualifier de saturés ou de dégénérés, parce qu’ils n’ont réellement aucun sens logique. Une proposition pRq, qui serait vraie quelle que puisse être la vérité de p et de q, n’a réellement aucun contenu logique intuitif.

Comme tels, ces connecteurs ne font qu’énoncer les pièces de construction du système, le "toujours vrai" et le "toujours faux", entre lesquelles s’établissent les expressions ayant un contenu logique (vrai - ou faux - si...).

 

  

Le plein et le vide logiques

 

Parmi toutes les différences (qui sont les caractères constituants de la signification logique) que l'on peut voir se manifester ici, l'une est plus importante que les autres, c'est celle du plein et du vide logiques.

En quoi consiste précisément cette différence?

Les 16 connecteurs sont binaires au point de vue formel. Mais au point de vue sémantique, 6 sont binairement "vides" (classe B), tandis que 10 sont binairement "remplis", - remplis d'un sens, d'une signification binaire (classe A). 

Or que constate-t-on? Les 6 connecteurs binairement vides ne sont autres que les pièces de construction de la signification, les constituants ultimes de la sémantique du système, à savoir les deux valeurs de vérité V et F, désignées par les connecteurs saturés (VVVV), (FFFF), et les énoncés quelconques p et q, avec leurs négations, non p et non q, exprimant certes des connexions, mais de nature non binaire mais unaire : l'identité et la négation.

Autrement dit, il y a identité entre la structure du système, et le vide de celui-ci, en ce sens que les formules "échouées" ou "non réalisées" du système, - ses formes vides, ne sont autres que les pièces nécessaires à sa construction.

 

Les significations des connecteurs se reflètent dans la structure matérielle du carré logique.

 

Il nous faut maintenant remarquer qu'il existe une relation tout à fait structurelle et profonde, entre la nature de la connexion logique entre deux énoncés p et q (binaire, unaire ou nulle), pour un connecteur quelconque, et le nombre d'axes de séparation entre les domaines respectifs des lettres V et F (des couleurs blanc et noir), sur le carré logique correspondant au même connecteur.

Autrement dit :

- Les connecteurs binaires ont deux axes de séparation, qui sont la verticale et l’horizontale.

- Les connecteurs unaires n’ont qu’un axe de séparation : la verticale ou l’horizontale.

- Les connecteurs nuls n’ont aucun axe de séparation.

 

                 connecteurs binaires              connecteurs unaires                 connecteurs nuls

   

Non seulement les carrés logiques sont des noms logiques des connecteurs du système des tables de vérité, mais on voit ici que le contenu sémantique, que les significations de ces connecteurs, se reflètent dans la structure du carré logique. 

De la même manière que la tétractys à points triangulaires, comme on l'a vu dans notre article 1 consacré à l'arithmétique, est un système de coordonnées qui permet de repérer de façon biunivoque l'ensemble des nombres entiers, mais aussi des nombres décimaux et négatifs, les carrés logiques bicolores constituent un système de notation capable d'exprimer l'ensemble des propositions de la logique des tables de vérité.

  

 

Théorème de consistance du carré logique 

 

La puissance exceptionnelle de ce système résulte, semble-t-il, d'une autologie bien construite, grâce à laquelle les couleurs, ou autres valeurs du carré logique, acquièrent la valeur de noms d'elles-mêmes. En effet, si l'on remplace les couleurs "blanc" et "noir" par les deux catégories primordiales de la logique : Identité et Différence, on obtient un système autologique consistant et bien construit (sans paradoxe) : c'est-à-dire un système qui formule lui-même les conditions minimales de sa propre possibilité. En effet, si le blanc n'était pas identique au blanc, et si le noir n'était pas différent du blanc, il serait impossible de construire un carré logique avec du blanc et du noir; - ces deux conditions suffisant à définir complètement ce qui est nécessaire à ces deux couleurs pour leur permettre de figurer ensemble dans un carré logique. De la même manière exactement, si l'expression "Identique à soi-même" n'était pas identique à elle-même, et si l'expression : "Différent de l'autre" n'était pas différente de l'autre, il serait impossible de construire un carré logique avec les expressions "Identique à soi-même" et "Différent de l'autre". Ce que l'on peut aussi exprimer par : Si ces expressions ne possédaient pas elles-mêmes la propriété qu'elles énoncent, il serait impossible de construire un carré logique avec elles.  Conclusion : le système énonce réellement les conditions minimales, nécessaires et suffisantes, de sa propre possibilité; et les valeurs du carré logique sont des désignations correctes d'elles-mêmes; ou encore : chacune de ces expressions stipule réellement, et sans paradoxe, ce qu'elle est elle-même. 

  

Identique à soi-même	Différent    de l'autre

             

Enfin, le carré logique est consistant pour toute paire d'objets (a, b) - valeurs ou états des cases du carré logique - satisfaisant ensemble à ces propriétés. Notons que la valeur "b" du carré logique n'a pas besoin, quant à elle, d'être identique à elle-même, pour peu que la valeur "a" le soit. Ainsi, si la valeur "a" est représentée par la couleur blanche, la valeur "b" peut être représentée par 32 couleurs différentes, voire 32 écrans versicolores, pourvu que toutes ces couleurs, ou tous les états de ces écrans, soient différents du blanc

  

*

  

Par ce chemin, la logique des tables de vérité, construite par la combinaison des valeurs de vérité "vrai" et "faux", se voit subordonnée à un matériel logique d'une généralité supérieure - dont elle apparaît comme un simple cas particulier - qui est celui des catégories primordiales de l'Idendité et de la Différence : le Même et l'Autre du Timée de Platon.

La logique des tables de vérité est intéressante par sa façon d'occuper (voire d'envahir, étant donnée sa dimension incontestable de conquête intellectuelle) ⁽¹⁾ un espace logique qui  peut être occupé par bien d'autres objets que le vrai et le faux : des couleurs, des sons, ou encore un circuit électronique capable d'effectuer des calculs. Mais on peut affirmer qu'il est impossible de "remplir" cet espace logique avec un matériel qui ait plus de généralité, ou d'extension, (et donc moins de contenu ou de déterminité ontologique) que les deux expressions ci-dessus, puisque les propriétés que ces expressions désignent et possèdent à la fois, sont des propriétés que possèdent nécessairement toutes les paires d'objets qu'il soit possible de poser, ou de définir, dans un carré logique consistant. Ou encore : le carré logique est consistant si et seulement si la paire d'objets qui le compose, est dotée de ces propriétés.

A nos yeux, c'est donc bien le carré logique, - et à travers lui son cadre vide : le carré gnomonique de rang 2 - qui apparaît dans cette application comme l'opérateur mathématique le plus fondamental, en ce qu'il permet de subordonner, par une méthode qui est réellement analytique et complète, une catégorie logique à une autre, en l'occurrence la catégorie "Vrai-Faux" à la catégorie "Identité-Différence". Plus précisément encore, le carré logique est l'opérateur dont ces catégories logiques sont les objets résultants.   

 

 

⁽¹⁾ Comme l'invention pythagoricienne de la théorie musicale, la logique des tables de vérité est, en réalité, l'une des plus hautes conquêtes intellectuelles de la science mathématique. Chacune de ces inventions représente l'intégration par la mathématique d'un pan entier de l'expérience humaine : la musique dans le premier cas, la logique dans le second. Pourtant, malgré le développement extraordinaire de la logique et de l'informatique au XXe siècle, le logicien Boole, son inventeur, n'est pas devenu, autant que nous sachions, une "icône de la modernité", à l'inverse des glorieux fabricants de machines qui ont prospéré sur le terreau de son invention. Les inventions de ce genre sont en quelque sorte victimes de leur succès, en ce qu'elles s'intègrent si vite et si naturellement au paysage culturel de l'homme, qu'on oublie de les remarquer, alors même que, du fait de leur appartenance au paradis des mathématiques, elles sont éternelles, - contrairement aux théories physiques incomplètes et provisoires auxquelles le public accorde sa faveur. De notre point de vue, il n'y a rien, dans la théorie des ensembles, qui ne puisse être déduit par un biais ou un autre de la logique des tables de vérité; et cette théorie se serait épargnée bien des ennuis si elle avait choisi, dès le départ, d'adhérer à ce socle, pour ne pas le quitter.